Maximilian Bittens1
1BGR Bundesanstalt für Geowissenschaften und Rohstoffe
Um Aussagen oder Vorhersagen über physikalische Systeme mithilfe von computergestützten Simulationen treffen zu können, müssen diese realen Systeme durch einen Modellierungsprozess in ein mathematisch-physikalisches Ersatzmodell überführt werden. Dies führt zu Differentialgleichungen, die das System beschreiben und die zusammen mit einer Reihe von Eingangsvariablen wie Geometrie, Randbedingungen und Materialkoeffizienten (näherungsweise) gelöst werden können. Dies führt zu einer funktionalen Beziehung
zwischen Eingabe und Ausgabe . Die Eingangsvariablen können jedoch nur in einer Näherung erster Ordnung als repräsentativ angenommen werden. Bei näherer Betrachtung unterliegen diese Eingaben oder Messvariablen Unsicherheiten, die in aleatorische und epistemische Unsicherheiten unterteilt werden können. Aleatorische Unsicherheiten beschreiben eine inhärente Unsicherheit aufgrund eines stochastischen Charakters des zugrunde liegenden Prozesses (Beispiel: Atomzerfall), während epistemische Unsicherheiten durch Wissenslücken bedingt sind; diese Art von Unsicherheit kann daher zumindest theoretisch durch erweiterte Messungen der betreffenden Eingangsvariablen reduziert werden. Die Klassifizierung unsicherer Eingaben in diese beiden Kategorien ist nicht eindeutig (Chowdhary et al., 2013; Mullins et al., 2016); Versuche, solche Unsicherheiten für Grundwasser- und Transportsysteme sowie für Reaktorsicherheit und die Entsorgung radioaktiver Abfälle zu klassifizieren und zu behandeln, sind in der Literatur zu finden (Ross et al., 2009; Helton, Johnson et al., 2011).
Um Unsicherheiten sinnvoll beschreiben zu können, müssen einige grundlegende stochastische Konzepte eingeführt werden: Das Tripel wird als Wahrscheinlichkeitsraum bezeichnet, wobei die Ergebnismenge, die Potenzmenge, eine -Algebra über , und das Wahrscheinlichkeitsmaß ist. Weiterhin nennen wir eine reale Zufallsvariable mit der kumulativen Verteilungsfunktion . Eine Familie von Zufallsvariablen wird als -dimensionales Zufallsfeld für und als stochastischer Prozess für bezeichnet. ist eine Realisation des Zufallsfeldes für ein festes , und ist eine Zufallsvariable für einen festen Ort . Ein stationäres Zufallsfeld kann vollständig durch die Mittelwertfunktion und die Kovarianzfunktion , beschrieben werden, wobei die Stationarität durch eine verschiebungsinvariante Kovarianzfunktion gekennzeichnet ist. Ist ein Gaußsches Zufallsfeld, dann ist jede Zufallsvariable ebenfalls gaußverteilt () mit Mittelwert und Standardabweichung .
Mithilfe des Karhunen-Loève-Theorems können (gaußsche) Zufallsfelder in eine orthonormale Basis zerlegt werden, die aus Eigenfunktionen des Kovarianzkerns besteht und in L2 optimal ist:
Eigenwerte und -funktionen können durch Lösung der Fredholm'schen Integralgleichung 2. Art berechnet werden:
Gleichung (2) entspricht einem verallgemeinerten algebraischen Eigenwertproblem und kann für einige Kerne und einfache Geometrien analytisch gelöst werden. Da für viele Probleme die Amplitude der Eigenwerte schnell abnimmt, kann eine effiziente Näherung des Zufallsfeldes mit einer endlichen Anzahl stochastischer Dimensionen durch die abgeschnittene Summe bestimmt werden
In (1) wurde eine funktionale Beziehung zwischen Eingaben und Ausgaben eingeführt. Bei Vorhandensein von Unsicherheiten in den Eingangsvariablen , werden die Ausgangsvariablen nun auch stochastisch
ein Konzept, das als Vorwärtspropagation von Unsicherheit bezeichnet wird.
Bei der Lösung stochastischer partieller Differentialgleichungen kann zwischen intrusiven und nicht-intrusiven Methoden unterschieden werden. Unter den intrusiven Methoden ist die spektral-stochastische Finite-Elemente-Methode der prominenteste Vertreter; unter den nicht-intrusiven Methoden gibt es eine Vielzahl von auf Stichproben basierenden Algorithmen.
In der intrusiven spektral-stochastischen Finite-Elemente-Methode (Ghanem und Spanos, 2003) wird jeder stochastische Koeffizient in den das System beschreibenden Differentialgleichungen durch eine Reihenentwicklung bestimmt
die unter dem Namen polynomielles Chaos bekannt ist, wobei zu bestimmende Koeffizienten und is an orthonormal basis. eine orthonormale Basis ist. Wählt man eine geeignete Basis in Bezug auf die Verteilungsfunktion, erhält man die L2-Optimalität des Karhunen-Loève-Theorems im obigen Kapitel. Als Beispiel können hier die Hermite-Polynome bei Vorliegen einer Gauß-Verteilung genannt werden. Dieses Verfahren führt zu großen Gleichungssystemen, für deren Lösung spezielle problemspezifische iterative Löser erforderlich sind (Ghanem und Kruger, 1996; Ullmann et al., 2012).to large systems of equations, for the solution of which special problem-specific iterative solvers are required (Ghanem and Kruger, 1996; Ullmann et al., 2012).
Der Erwartungswert des Problems (3) kann mit dem Integral berechnet werden:
Die Monte-Carlo-Methode liefert einen Schätzwert
für den Erwartungswert, der aus dem Mittelwert von Zufallsergebnissen aus dem stochastischen Zustandsraum besteht, wobei jede Stichprobe das Maß respektiert.
Die Monte-Carlo-Methode wird besonders in Wissenschaft und Technik wegen ihrer einfachen Implementierung und Parallelisierung häufig verwendet. Die Monte-Carlo-Methode konvergiert relativ langsam () ), aber unabhängig von der Anzahl der stochastischen Dimensionen und der Regularität der zu integrierenden Funktion. Erweiterungen der Methode sind Quasi-Monte-Carlo (Caflisch et al., 1998), Multi-Level-Monte-Carlo (Heinrich, 2001) und Multi-Index-Monte-Carlo (Haji-Ali et al., 2016). Bei dem Versuch, Unsicherheiten in der Planung von Endlagern für radioaktive Abfälle zu quantifizieren, ist die Monte-Carlo-Methode ebenfalls gut etabliert (Helton, 1993; Bayoumi et al., 2012; Cadini et al., 2010).
Wenn doppelt orthogonale Polynome für die Basis in (4) in (4) im spektral-stochastischen Ansatz gewählt werden, zerfällt das Gleichungssystem in viele Einzelprobleme, die separat gelöst werden können (Babuška et al., 2007). Dies macht die stochastische Kollokation allgemein zu einer der stichprobenbasierten Methoden. Im Gegensatz zu den Monte-Carlo-Methoden wird zusätzlich eine interpolierende Basis im stochastischen Zustandsraum definiert, was es ermöglicht, Ergebnisse zwischen den Gitterpunkten zu schätzen (Surrogatmodell). Es gibt eine Vielzahl von Diskretisierungsmethoden für die stochastische Kollokation, einschließlich vollständiger und spärlicher Tensor-Gitter mit globalen und lokalen Lagrange-Basen sowie Wavelet- (Gunzburger et al., 2014) und Splines-Basen (Rehme et al., 2021). Darüber hinaus existieren adaptive-hierarchische (Ma et al., 2009) und dimensionsadaptive (Griebel et al., 2014) Varianten. Stochastische Kollokation wird häufig zur Unsicherheitsquantifizierung in porösen Medien und Grundwasserproblemen eingesetzt (Li et al., 2007; Fichtl et al., 2011). Es gibt zahlreiche andere Methoden zur Lösung stochastischer partieller Differentialgleichungen, einschließlich nicht-intrusiver Polynomialchaos (Eldred et al., 2009) oder Lateinischer Hyperwürfel-Sampling (Helton und Davis, 2003).
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